Ein alternatives Tonsystem

Wir musizieren mit einer Oktave, die relativ gleichmäßig in zwölf Stufen unterteilt ist. Es sind zwölf Halbtonschritte von c zu cis zu d und so weiter zum nächsten c. Im heute vorherrschenden gleichstufigen System sind diese Stufen sogar exakt gleich groß, nicht nur annähernd. Dass es gerade zwölf Stufen sind, hat gute Gründe, wie auch hier noch einmal deutlich werden wird. Die 12 ist keine bloße Konvention. Es gibt zu diesem System vermutlich keine Alternative, die besser geeignet ist, Musik zu machen. Konkurrenzlos ist das System aber nicht. Eins der konkurrierenden Systeme wird hier etwas beleuchtet, nämlich jenes aus neunzehn statt zwölf gleich großen Stufen. Das geschieht aus der Sicht des gemeinen Musikhörers, nicht der einer Minderheit von musikalischen Feinschmeckern, speziell bei Einschätzungen über Sinn und Zweck und die Hörbarkeit von Unterschieden.

Das Ganze fällt eher in die Kategorie Hintergrundwissen, als einen direkten praktischen Nutzen zu haben – außer vielleicht, man ist sehr experimentell ausgerichtet. Am ehesten ist noch eine Anwendung bei elektronisch erzeugter Musik denkbar. Bei physischen Instrumenten ist die Umstellung auf ein anderes Tonsystem nichts zum schnellen Ausprobieren, z.B. müsste man bei einer Gitarre die Bünde dichter zusammen rücken, neunzehn auf der Länge von zwölf. An den Mechaniken zu drehen, nützt gar nichts, damit bleibt man immer zwölfstufig.

Der Text beruht im Kern auf dem Wikipedia-Artikel „Neunzehnstufige Stimmung“ in der deutschen und englischen Version, die allerdings beide recht knapp sind. Auch lesenswert ist „Tonsystem“, allerdings findet man dort natürlich nur allgemeine Grundlagen ohne Bezug speziell zur neunzehnstufigen Variante.

Im englischsprachigen Raum gibt es für das neunzehnstufige gleichstufige System die schöne Abkürzung „19-ET“, ET für „equal temperament“. Dieser Terminus wird im Folgenden auch gelegentlich auftauchen, der Kürze wegen.

Der Verfasser merkt noch an, dass er kein Experte ist. Aber Diskussion ist ja unten möglich.

Warum die 19?

Warum gerade neunzehn? Die 19 ist genauso wenig willkürlich wie die 12. Beide sind aus mathematischen Gründen für ansprechende Musik geeignet, im Gegensatz zu den meisten anderen potenziellen gleichstufigen Teilungen wie 13 oder 18.

Das Unterteilen der Oktave erfolgt mit klaren Zielen, es geht dabei um Frequenzverhältnisse. Welche zentrale Rolle Frequenzverhältnisse in der Musik spielen, wird etwas dadurch vernebelt, dass man über sie meistens nicht mathematisch spricht, z.B. „5:4“, sondern ihre musikalischen Intervallnamen verwendet, z.B. „große Terz“. Bestimmte Intervalle (alias Frequenzverhältnisse) müssen im Tonvorrat zwingend vorkommen für das, was allgemein unter Musik verstanden wird, z.B. weil sie für Akkorde gebraucht werden. Konkret sind das diese:

Das sind sechs Intervalle, in gewisser Weise aber nur drei Ziele, denn die Intervalle, die hier paarweise zusammen in einer Zeile stehen (Komplementärintervalle, Produkt = 2) treten immer gemeinsam auf.

Ein gleichstufiges Tonsystem kann elementare Frequenzverhältnisse wie 5:4 nur annähern. Mathematisch liegt das daran, dass diese auf der linearen Skala rational sind, während alle Stufen des Systems außer der Oktave irrational sind. Auf der logarithmischen Skala (Cent) ist es umgekehrt. Da findet nichts exakt zusammen, außer der Oktave. Eine Annäherung ist aber ausreichend, wobei eine gute Annäherung natürlich harmonischer klingt als eine schlechte.

Die Annehmlichkeit einer relativ gleichmäßigen Unterteilung der Oktave liegt darin, sich keine Sorgen darüber machen zu müssen, ob die wichtigen Intervalle auch an der richtigen Stelle entstehen, denn falls sie an einer Stelle entstehen, dann auch an jeder anderen. Ein exakt gleichstufiges System ist in dieser Hinsicht besonders unproblematisch, weil sich jeder Ton absolut gleich zu den anderen verhält. Wenn man also bewerten möchte, ob die Oktave gut unterteilt ist, muss man nur prüfen, ob sich Töne mit den gewünschten Frequenzverhältnissen zum Anfangston ergeben. Dieser Ton kann alle anderen vertreten. Gibt es dort eine große Terz, dann auch bei jedem anderen Ton. Gibt es dort keine, dann auch nirgendwo sonst.

Man kann sich nun für alle potenziellen Unterteilungen der Oktave ansehen, wie gut jeweils die oben aufgeführten Frequenzverhältnisse getroffen werden. Das lässt sich auch grafisch veranschaulichen, wobei sich eine logarithmische Skalierung anbietet, weil die Unterteilung damit auch geometrisch gleichmäßig ist. Für die Teilungen 5 bis 20 sieht das so aus:

Mögliche Unterteilungen der Oktave

Die Frequenzverhältnisse sind hier als flächige Streifen dargestellt, die etwa den Rahmen des ästhetisch Vertretbaren anzeigen. Die klanglich reinsten Treffer sind jeweils die in der Mitte des Streifens. Zu den Rändern hin wird es zunehmend schief.

Hier ist nun gut zu erkennen, warum unser bevorzugtes System zwölf Stufen hat. Alle gröberen Teilungen sind ungeeignet, es fehlen wichtige Intervalle. So bietet z.B. die 5 zwar Quarten und Quinten in schlechter Annäherung, aber keine Terzen und Sexten. Die 12 ist das musikalische Minimum und damit der beste Kompromiss aus Klang und Praktikabilität. Zudem werden damit auch die Quarten und Quinten sehr gut getroffen, die Terzen und Sexten dagegen schlecht.

Wird man nun experimentierfreudig und sucht nach einer Alternative zur 12, dann bietet sich in diesem Bereich nicht viel an. Die meisten der Unterteilungen taugen nichts. Neben der 12 bleiben nur die 15 und die 19 als Optionen. Die 19 sticht insofern hervor, als sie die ausgewogensten Annäherungen bietet. Zwar trifft sie die Quarten und Quinten nicht ganz so perfekt wie die 12, dafür ist sie bei den Terzen und Sexten weniger schief. In Zahlen sieht das so aus:

Eine Quinte z.B. hat also im neunzehnstufigen System 11 Stufen (statt 7 im zwölfstufigen) und verfehlt das angestrebte Frequenzverhältnis 3:2 um ca. 7 Cent (statt ca. 2). Beide Terzen werden besser angenähert als zwölfstufig, herausragend die kleine, die hier nur 0,15 Cent abweicht. Gleiches gilt für die komplementären Sexten, denn Komplementärintervalle werden immer identisch angenähert, nur mit vertauschtem Vorzeichen. (Bitte nicht von den hübschen runden Cent-Zahlen für das zwölfstufige System verwirren lassen. Die rühren daher, dass diese Einheit vom zwölfstufigen System abgeleitet ist. Das Ideal sind nicht runde Cent-Zahlen, sondern die Cent-Zahlen in der Spalte „Frequenzverhältnis“.)

Übrigens war es genau die hohe Präzision der kleinen Terz, die Musiktheoretiker schon im 16. Jahrhundert über die 19 nachdenken ließ. Wikipedia formuliert die Beobachtung, die am Anfang stand, so: „The ratio of four minor thirds to an octave […] was almost exactly a nineteenth of an octave.“ Mathematisch ist das äquivalent zur Feststellung, dass die fünfte von neunzehn gleich großen Stufen fast exakt einer kleinen Terz entspricht.

Keine falschen Erwartungen, bitte

Wer sich mit dem Thema noch nicht befasst hat, der hat an ein neues Tonsystem möglicherweise Erwartungen, die es nicht erfüllen wird. Ein Tonsystem ist kein eigenständiges, wundersames Universum voller eigener Strukturen und Regeln. Alle wichtigen Gebilde aus Tönen sind durch Frequenzverhältnisse bestimmt, nicht durch das Tonsystem: Intervalle, Akkorde und selbst Tonleitern. Wir werden gleich eine Tonleiter entwickeln und sehen, dass das viel mit Intervallen zu tun hat, also Frequenzverhältnissen, und wenig mit dem Tonsystem. Die bekannten siebenstufigen Leitern für Dur und Moll sind keine Erscheinungen der zwölfstufigen Welt, sondern universell. Das Tonsystem stellt nur ein Raster bereit, auf welches all diese Muster von Frequenzverhältnissen, all die Terzen und Quinten, die Dur- und Moll-Akkorde und auch die Leitern abgebildet werden. Deshalb bewirkt allein der Wechsel des Tonsystems keine dramatische Änderung der Musik. Solange man in den harmonischsten Gefilden verweilt, bei strengen Dur- und Moll-Tonleitern, ist ein Wechsel des Tonsystems effektiv nicht mehr als ein Microtuning. Eine harmonische Feinheit, die vielleicht nicht einmal den Aufwand lohnt, weil der Hörer im Getöse einer modernen Produktion dafür kaum Aufmerksamkeit übrig hat. Es könnte die Hälfte der Popmusik in 19-ET gehalten sein, ohne dass man das mit einem durchschnittlichen Gehör bemerken würde.

Die großen, deutlich hörbaren Unterschiede zwischen den Tonsystemen finden sich nicht im Bereich der Harmonie, in dem alle die gleichen Pflichten erfüllen, sondern bei den Nebenprodukten, die außerhalb des harmonischen Kontextes abfallen. Ein alternatives Tonsystem lässt sich also entweder kaum wahrnehmbar zur harmonischen Optimierung einsetzen oder plakativ ungewöhnlich, das aber nur mehr oder weniger dissonant. Damit sind solche Systeme nicht zuletzt für Abenteurer interessant, und erst so entsteht die Verbindung mit abenteuerlicher Musik.

Konstruktion einer Tonleiter

Zum Musikmachen brauchen wir nicht nur ein Tonsystem, sondern innerhalb des Systems auch eine Tonleiter. Jedenfalls sind mit Tonleiter gefälligere Ergebnisse zu erwarten als ohne, wie wir vom zwölfstufigen System wissen. Der übliche Ansatz, eine Tonleiter zu gewinnen, sind fortgesetzte Quintensprünge. Startet man z.B. im zwölfstufigen System bei f, dann sammelt man quintenweise die Töne f-c-g-d-a-e-h ein, was genau die Töne einer C-Dur- oder a-Moll-Tonleiter sind. Die Methode liefert deshalb so brauchbare Ergebnisse, weil sie am Ende nicht nur Quinten abwirft, sondern auch Terzen. Das ist einem Rundungseffekt zu verdanken. Die vierte Quinte (1,5⁴:1 = 5,0625:1) kommt der großen Terz in der dritten Oktave (5:1) ziemlich nahe und fällt deshalb auf den gleichen Ton des Systems. Ab diesem Schritt erzeugen alle hinzugefügten Töne neue große und kleine Terzen zu den schon vorhandenen Quarten und Quinten, womit sich die wichtigsten Intervalle schön ansammeln. Folgende Grafik zeigt das in der vertrauten zwölfstufigen Variante, die kleinen und großen Terzen sind blau und gelb markiert:

Konstruktion einer Tonleiter, zwölfstufiges Tonsystem

Die Zauberformel lautet: vier Quinten sind zusammen das Gleiche wie zwei Oktaven und eine große Terz. Für das zwölfstufige System stimmt das: 4*7=2*12+4. Für das neunzehnstufige stimmt es ebenfalls: 4*11=2*19+6. Wir können die Methode also ganz bequem übernehmen.

Konstruktion einer Tonleiter, neunzehnstufiges Tonsystem

Mit c statt f an den Anfang geschoben, sieht das in Keyboardform so aus:

Dur-Tonleiter, neunzehnstufiges Tonsystem

Das ist also die altbekannte Dur-Tonleiter. Zum Vergleich die zwölfstufige Version:

Dur-Tonleiter, zwölfstufiges Tonsystem

Wie man sieht, ist das Verhältnis enorm regelmäßig, was insofern nicht verwundert, als 19 gerade die Summe der vertrauten Zahlen 12 (System) und 7 (Leiter) ist. Bei 19-ET kommt einfach zwischen allen Tönen der Leiter eine Stufe im System hinzu. Es entsprechen nicht die größeren Schritte auf der Leiter zwei Stufen („Ganzton“) und die kleineren einer Stufe („Halbton“), sondern die größeren Schritte drei Stufen und die kleineren zwei. Man könnte sagen: Der Ganzton wird in drei Dritteltöne geteilt.

Eine akustische Verdeutlichung. Zunächst die Dur-Tonleiter des zwölfstufigen Systems in Reinform, anschließend ein zweites Mal, dann in gedämpfter Form um die ausgelassenen Stufen des Systems ergänzt.

Nun das Gleiche im neunzehnstufigen System. Bei der nackten Leiter ist kaum ein Unterschied zu hören, erst im zweiten Teil sticht das System hervor.

In einem normalen, geradlinigen Stück finden also nur 7 der 19 Töne des Systems Verwendung, was im Vergleich zum zwölfstufigen System eine magere Ausbeute ist. Aber der Leiter weitere Töne hinzuzufügen, z.B. mit noch ein paar Quintensprüngen mehr, führt zu Dissonanzen, nicht anders als im zwölfstufigen System.

So klingt’s

Nun etwas Sound. Beginnen wir mit dem konsonanten Fall, alles nach Tonleiter. Wie erläutert, sind die Unterschiede zwischen den Systemen hier sehr fein. Ich persönlich höre im direkten Vergleich als einzigen Unterschied die Zweidritteltonschritte des neunzehnstufigen Systems, z.B. vom c runter zum h. Selbst die kleinen Terzen, die wunderbar präzisen des neunzehnstufigen Systems im Kontrast zu den schrecklich schiefen des zwölfstufigen, höre ich nicht. Entsprechende Einbildungen sind in einem Blindtest kläglich verdampft.

Hier also eine Sequenz mit vielen Terzen, zunächst die zwölfstufige Referenz:

Jetzt das Gleiche neunzehnstufig:

In dieser Passage sind alle Töne der Leiter enthalten. Mehr passiert nicht bei einer einfach angelegten Komposition. Nichts, das den Unterkiefer fallen lässt oder die Latschen von den Füßen zerrt.

Das ändert sich, wenn man die Leiter hinter sich lässt, sich in die „Dritteltöne“ vorarbeitet und damit letztendlich die Artefakte der Rasterung offenlegt. Es sei angemerkt, dass alle hier zu hörenden Dur- und Moll-Akkorde für sich genommen absolut korrekt und harmonisch sind. Der schräge Eindruck entsteht nur aus den ungewöhnlichen Frequenzverhältnissen, die sie zueinander haben, und ein paar unabhängig davon eingestreuten leiterfremden Tönen.

Das ist nun ein durchaus eigenes Produkt des neunzehnstufigen Tonsystems. Natürlich könnte man Ähnliches auch im zwölfstufigen System tun, das klänge aber anders, im Vergleich fast schon zivilisiert. Vielleicht wird der Wahnsinn durch Gewöhnung gemildert.

Als letztes Beispiel etwas Freistil-Geklimper in 19-ET, auch das wahrnehmbar eigenartig.

Die Technik

Hier habe ich keinen Überblick, und es ging mir bei dieser Geschichte auch eher um das Konzept und die Zusammenhänge als um die Umsetzung. Ich kann aber kurz darlegen, welche Möglichkeiten mir bekannt sind. Dass die DAW und speziell die Piano Roll 19-ET unterstützt, vereinfacht die Sache sicher ungemein, ist aber nicht zwingend nötig. Meine DAW, Cubase, tut es nicht, wenn ich nicht etwas übersehen habe. Es gibt da zwar innerhalb des zwölfstufigen Systems Funktionen für die Stimmung, aber mehr als zwölf geht nicht.

Notwendig ist dagegen eine minimale Unterstützung durch die Instrumente, wenn man nicht für jede einzelne Note ein eigenes Pitchbend berechnen will. Im einfachsten Fall ist das ein Oktaven-basiertes Microtuning, entweder im Plugin integriert oder über die DAW. Auch letzteres muss vom Instrument unterstützt werden, meine Erfahrungen sind da jenseits der Stock-Plugins eher düster.

Microtuning einer DAW (Cubase)

Microtuning eines Synthesizers (FM8)

Viele Instrumente kann man bei 19-ET leider vergessen, weil sie kein Tuning erlauben. Zudem lassen sich mit einem handelsüblichen Microtuning maximal 12 der 19 Töne erschlagen. Das bedeutet zum einen, dass es leider nicht die eine, universelle Microtuning-Einstellung für 19-ET gibt. Das erforderliche Setup hängt davon ab, welche Töne im Stück vorkommen sollen. Zum anderen bedeutet es, dass mehr als 12 verschiedene Töne nicht gut zu bewältigen sind. Man könnte die Spur in zwei aufteilen, die verschieden getunt sind, aber wer wollte damit noch arbeiten?

Auf der anderen Seite gibt es Instrumente mit einer echten Unterstützung für Tonsysteme.

Stimmfunktion eines Pianoteq

Dieses Plugin z.B. bietet eine ausgefeilte und flexible Unterstützung für alle erdenklichen Stimmungen mit beliebiger Anzahl von Stufen. Hiermit könnte man im Gegensatz zu einem Microtuning alle Stufen des Systems gleichzeitig spielbar machen – natürlich zum Preis, dass dann das zwölfstufige Tastenmuster auf dem Keyboard und in der Piano Roll überhaupt nichts mehr mit den Verhältnissen der Töne zu tun hätte, jede Oktave wäre 19 Tasten lang. Alternativ kann man sich auf eine Untermenge der Töne des Systems beschränken und landet wieder bei einem Microtuning mit seinen Vor- und Nachteilen.

Was bringt eine Konvertierung?

Dass es im Allgemeinen nicht viel bringt, ein Stück aus dem zwölfstufigen ins neunzehnstufige System zu konvertieren, kann man sich fast schon denken. Entweder, und das dürfte 99% betreffen, ist es zu weit auf der braven Seite, konstruiert mit klassischem, Harmonie-orientiertem Instrumentarium. Wer da glaubt, er habe Musik fürs zwölfstufige System geschrieben, irrt sich. Er hat sie für die Tonleiter und vielleicht den Quintenzirkel geschrieben, und die klingen in anderen Systemen ganz ähnlich. Oder aber, das Stück zelebriert die dissonanten Abgründe des zwölfstufigen Systems, für die es im neunzehnstufigen keine direkten Übersetzungen gibt.

Ich hatte trotzdem kurz die Idee verfolgt, für diese Leserstory ein eigenes Stück nach 19-ET zu konvertieren und der zwölfstufigen Ausgangsfassung gegenüberzustellen. Das wäre dann etwas weniger abstrakt gewesen als die Beispiele oben, auch mit ein paar Synthieklängen, denn eigentlich bin ich ja Elektroniker. Weiter als bis zu den ersten 30 Sekunden der ersten Spur bin ich damit aber nicht gekommen. An diesem Punkt war nämlich schon erkennbar, dass kein wirklich interessantes Ergebnis entsteht. Dabei hatte ich extra ein etwas sperriges Stück gewählt, das alle Töne des zwölfstufigen Systems verwendet, und diese übersetzten sich (mit einiger Rechnerei) in 16 verschiedene Töne des neunzehnstufigen Systems. Aber auch das war noch zu konventionell, um in 19-ET mehr zu hören als ein paar winzige Merkwürdigkeiten. Der große Aha-Effekt blieb aus.